درسنامه آموزشی ریاضی 3 فنی دوازدهم هنرستان

پودمان 2: درک مفهوم حد

بازدید105

تاریخ بروزرسانی1405/04/4

حد تابع‌ها

امروز دبیر دربارهٔ اصابت موشک به یکی از هواپیماهای جنگی که در ارتفاع بالا در حال پرواز بود، صحبت کرد. این سؤال برای سعید مطرح شد که ما چگونه می‌توانیم ارتفاع هواپیما را در لحظهٔ اصابت موشک به‌دست آوریم؟

- حمید گفت: من شنیده‌ام که هواپیماها دارای حداقل یک جعبهٔ سیاه هستند که تمام اطلاعات پرواز در آن ضبط می‌شود. اگر جعبهٔ سیاه هواپیما پیدا شود، حتماً ارتفاع هواپیما در لحظهٔ اصابت موشک در آن ذخیره شده است.

- دبیر گفت: بله، ممکن است که اطلاعات کلی پرواز در جعبهٔ سیاه ذخیره شود؛ ولی در لحظهٔ اصابت موشک، جعبهٔ سیاه هم از کار می‌افتد و نمی‌تواند ارتفاع هواپیما را دقیقاً در همان لحظه نشان دهد.

- حمید گفت: ولی ارتفاع هواپیما در لحظات قبل از اصابت موشک در جعبهٔ سیاه وجود دارد. شاید به کمک آن‌ها بتوان ارتفاع هواپیما را در همان لحظهٔ خاص به‌دست آورد.

- دبیر گفت: شما چه راه‌حلی به نظرتان می‌رسد؟

- سعید گفت: اگر در لحظات قبل از اصابت موشک، ارتفاع هواپیما ثابت باشد، کافی است ارتفاع هواپیما را در آن لحظه‌ها، از جعبهٔ سیاه به‌دست آوریم.

- دبیر گفت: ما اطلاعی از ثابت بودن ارتفاع هواپیما نداریم و ممکن است هواپیما برای فرار از موشک در آن لحظه‌ها، ارتفاع خود را سریعاً تغییر داده باشد.

- حمید گفت: فکر می‌کنم اگر در زمان‌های خیلی نزدیک به لحظهٔ اصابت موشک، ارتفاع هواپیما را به‌دست آوریم، این مقدارها می‌توانند تقریب‌های خوبی از ارتفاع هواپیما در لحظهٔ اصابت موشک باشند.

- دبیر گفت: پیشنهاد خوبی است. با این روش ما می‌توانیم تقریب‌های خوبی از ارتفاع هواپیما در آن لحظه به‌دست آوریم، اما ارتفاع دقیق هواپیما را هنوز نیافته‌ایم.

- حمید گفت: فرض کنیم ارتفاع هواپیما را در زمان‌های نزدیک به لحظهٔ اصابت بدانیم، آیا می‌توان تشخیص داد که این مقادیر تقریبی به چه عددی نزدیک می‌شوند؟

- دبیر گفت: سؤال خوبی است. برای پاسخ به آن بهتر است فعالیت زیر را انجام دهیم.

فرض کنید تابع $h$ با قانون $h(t) = \frac{{{t^2} - 4t - 60}}{{2t - 20}}$، ارتفاع هواپیمایی را در بازهٔ زمانی $\left[ {5,10} \right)$ مشخص کند. $t$ را برحسب دقیقه و $h(t)$ را برحسب کیلومتر درنظر بگیرید.

1- ارتفاع هواپیما در لحظهٔ $t = 8$ چقدر است؟
$h(8) = 7$ ارتفاع هواپیما 7 کیلومتر از سطح زمین است.

2- آیا در لحظهٔ $t = 10$ می‌توان از طریق تابع $h$، ارتفاع هواپیما را به‌دست آورد؟ چرا؟
خیر، زیرا 10 در دامنهٔ تابع $h$ نیست.

3- آیا در زمان‌های قبل از $t = 10$ می‌توان از طریق تابع $h$، ارتفاع هواپیما را به‌دست آورد؟
بله، چون تابع $h$ به ازای همة اعداد در بازة $\left[ {5,10} \right)$ تعریف شده است.

4- با کامل کردن جدول، ارتفاع هواپیما را در زمان‌های نزدیک به $t = 10$ به‌دست آورید.

10	$ \to $	9/999	9/99	9/95	9/9	9/5	9	5	$t$
$?$	$ \to $	7/9995	7/995	7/975	7/95	7/75	7/5	5/5	$h(t)$

5- آیا می‌توانید حدس بزنید که با نزدیک شدن مقادیر $t$ به 10، مقادیر $h(t)$ به چه عددی نزدیک می‌شوند؟
با نزدیک شدن مقادیر $t$ به 10، مقادیر $h(t)$ به عدد 8 نزدیک می‌شوند.

6- آیا اکنون می‌توانید بگویید ارتفاع هواپیما در لحظهٔ $t = 10$ چقدر بوده است؟
ارتفاع هواپیما در لحظهٔ $t = 10$، برابر 8 کیلومتر بوده است.

در فعالیت بالا تابع $h$، ارتفاع یک هواپیما را در بازهٔ زمانی $\left[ {5,10} \right)$ نشان می‌دهد. هدف از این فعالیت، یافتن ارتفاع هواپیما در لحظهٔ $t = 10$ بود. این ارتفاع را با $L$ نشان می‌دهیم. از آنجا که 10 در دامنهٔ این تابع نیست، نمی‌توانیم مستقیماً $L$ را از طریق قانون تابع $h$ به‌دست آوریم؛ اما ارتفاع هواپیما برای زمان‌های قبل از $t = 10$ را می‌توان مشخص کرد. با توجه به پیوستگی حرکت هواپیما، می‌دانیم در زمان‌های بسیار نزدیک به $t = 10$، ارتفاع هواپیما نزدیک به $L$ است؛ پس کافی است ارتفاع هواپیما را برای زمان‌های بسیار نزدیک به $t = 10$ محاسبه کنیم و تشخیص دهیم این مقادیر به چه عددی نزدیک می‌شوند. با تشکیل جدول مقادیر تابع در نزدیکی‌های $t = 10$ مشاهده می‌کنیم که با نزدیک شدن مقادیر $t$ به 10، مقادیر $h(t)$ به 8 نزدیک می‌شوند. این مطلب در نمودار تابع نیز به‌خوبی دیده می‌شود.

همان‌طور که در نمودار دیده می‌شود، با نزدیک شدن مقادیر $t$ به 10، مقادیر $h(t)$ به 8 نزدیک می‌شوند. پس می‌توانیم نتیجه بگیریم ارتفاع هواپیما در لحظهٔ $t = 10$ برابر 8 کیلومتر یا به عبارت دیگر $L = 8$ است. توجه داشته باشید که عدد 8 را نمی‌توانستیم با محاسبهٔ مقدار تابع $h$ در $t = 10$ به‌دست آوریم. زیرا 10 در دامنهٔ این تابع نیست، بلکه با نزدیک کردن مقادیر $t$ به 10 و مشاهدهٔ نزدیک شدن مقادیر $h(t)$ به 8، این مقدار را به‌دست آورده‌ایم. این عمل را حدگیری و عدد 8 را حد تابع $h$ در $t = 10$ می‌گویند.

مثال 1

تابع $f$ را با دامنهٔ $( - \infty ,3)$ و قانون $f(x) = \frac{{3 - x}}{{\sqrt {3 - x} }}$ در نظر بگیرید. با نزدیک شدن متغیر تابع در دامنۀ تابع به نقطهٔ $x = 3$، مقادیر تابع به چه عددی نزدیک می‌شوند؟

برای پاسخ به این سؤال، جدول مقادیر تابع را به‌ازای $x$های نزدیک به 3 (در دامنهٔ $f$) محاسبه می‌کنیم.

این جدول نشان می‌دهد که با نزدیک شدن مقادیر $x$ به 3، مقادیر $f(x)$ به صفر نزدیک می‌شوند.

از طریق نمودار تابع نیز می‌توان همین نتیجه را به‌دست آورد. نمودار $f$ را به کمک جئوجبرا رسم می‌کنیم.

به ازای هر مقدار $x$،می‌توان مقدار $f(x)$ را روی محور عرض‌ها از نمودار تابع به‌دست آورد. در شکل بالا، با نزدیک شدن مقادیر $x$ (در دامنهٔ $f$) روی محور طول‌ها به 3 مقادیر $f(x)$ به صفر نزدیک می‌شوند. همان‌طور که نمودار نشان می‌دهد از طریق تغییر مقادیر تابع در جهت فلش‌ها می‌توان تشخیص داد که با نزدیک شدن $x$ به 3 روی محور طول‌ها، مقادیر $f(x)$ روی محور عرض‌ها به صفر نزدیک می‌شوند.

مثال 2

تابع $g$ را با دامنه $\mathbb{R} - \left\{ 2 \right\}$ و قانون $g(x) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}$ در نظر بگیرید. اگر مقادیر $x$ را در دامنهٔ $g$ به 2 نزدیک کنیم، مقادیر $g(x)$ به چه عددی نزدیک می‌شوند؟

دامنهٔ این تابع به‌صورت $( - \infty ,2) \cup (2, + \infty )$ است. برای محاسبهٔ مقادیر $g(x)$ به ازای $x$های نزدیک 2 در دامنه، می‌توان هم مقادیر بزرگ‌تر از 2 و هم مقادیر کوچک‌تر از 2 را برای $x$ انتخاب کرد. بنابراین برای این تابع، جدولی به شکل زیر تشکیل می‌دهیم.

این جدول نشان می‌دهد که با نزدیک شدن مقادیر $x$ به 2 (از دو طرف) مقادیر $g(x)$ به 3 نزدیک می‌شوند. در اینجا نیز می‌گویند حد تابع $g$ در نقطهٔ $x = 2$ برابر 3 است.
در این مثال نیز می‌توان به کمک نمودار تابع $g$، حد آن را در نقطهٔ $x = 2$ به‌دست آورد. نمودار این تابع به شکل زیر است.
نمودار نشان می‌دهد که با نزدیک شدن $x$ روی محور طول‌ها به 2 (از دو طرف) مقادیر $g(x)$ روی محور عرض‌ها به 3 نزدیک می‌شوند.

پس از توضیحات بالا دربارهٔ حد تابع‌ها، برای حمید سؤالی پیش آمد.

- حمید پرسید: آیا می‌توان حد هر تابعی را در هر نقطه‌ای به‌دست آورد؟

- دبیر گفت: برای یافتن حد یک تابع در یک نقطه، باید بتوانیم مقادیر تابع را در نزدیکی‌های آن نقطه حساب کنیم. اگر نتوانیم این کار را انجام دهیم، حد تابع در آن نقطه معنایی ندارد و قابل تعریف نیست.

- حمید پرسید: چگونه تشخیص دهیم حد یک تابع در یک نقطه قابل تعریف نیست؟

- دبیر گفت: اگر بخواهیم مقادیر تابع را در نزدیکی‌های یک نقطه محاسبه کنیم، لازم است دامنهٔ تابع، شامل نقاط نزدیک به آن نقطه باشد. این به معنای آن است که باید بتوانیم از داخل دامنهٔ تابع به آن نقطه نزدیک شویم.

- سعید گفت: بنابراین، اگر درست متوجه شده باشم، حد یک تابع در هر نقطه‌ای قابل تعریف نیست. مثلاً برای یک نقطه مانند $a$ باید تشخیص دهیم که آیا از داخل دامنهٔ تابع، می‌توان به $a$ نزدیک شد یا خیر؟

- حمید پرسید: برای مثال اگر دامنهٔ یک تابع بازهٔ $(0, + \infty )$ باشد، از داخل آن به چه نقاطی می‌توان نزدیک شد و به چه نقاطی نمی‌توان نزدیک شد؟

- سعید گفت: به نظر من در این بازه به هر عدد مثبت می‌توان از دو طرف (مقادیر کوچک‌تر و بزرگ‌تر از آن عدد) نزدیک شد، ولی در این بازه، به هیچ عدد منفی نمی‌توان نزدیک شد. در مورد صفر، فقط از سمت راست (مقادیر بزرگ‌تر از صفر) می‌توانیم به آن نزدیک شویم.

- دبیر گفت: بله، نظر شما درست است. بنابراین، برای تابعی که دامنهٔ آن بازهٔ $(0, + \infty )$ است، حد آن در همه اعداد مثبت و صفر قابل تعریف است، ولی در اعداد منفی حد آن تابع قابل تعریف نیست.

- حمید گفت: ولی من منظور از نزدیک شدن به یک نقطه را درست متوجه نشدم. چه اندازه از نزدیک شدن کافی است؟ فاصله از نقطه چقدر باید کوچک باشد؟ آیا مثلاً نزدیک شدن به اندازهٔ 0/001 یا 0/0001 یا 0/00001 یا یک عدد کوچک‌تر دیگر، کافی است؟

- دبیر گفت: نه، منظور از نزدیک شدن، آن نیست که به اندازهٔ عدد خاصی نزدیک شویم. منظور از نزدیک شدن آن است که به هر اندازه که بخواهیم، بتوانیم به آن نقطه نزدیک شویم. مثلاً از داخل بازهٔ $(0, + \infty )$ به هر اندازه که بخواهیم می‌توانیم به 1 نزدیک شویم.

مثال 3

حد تابع $g(x) = \frac{4}{{{x^2} + 1}}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در چه نقاطی قابل تعریف است؟

دامنهٔ این تابع، تمام اعداد حقیقی است. پس، از دامنهٔ این تابع به هر نقطه مانند $a$ می‌توان نزدیک شد. بنابراین، حد این تابع در همهٔ نقاط قابل تعریف است. نمودار این تابع به شکل زیر است و مثلاً نزدیک شدن به یک نقطه مانند $a$، از نقاط دامنهٔ تابع، نمایش داده شده است.

مثال 4

حد تابع $f(x) = \sqrt {(x + 1)(2 - x)} $ با دامنهٔ $( - 1,2)$ در چه نقاطی قابل تعریف است و در چه نقاطی قابل تعریف نیست؟

نمودار این تابع به شکل زیر است. همان‌طور که از روی شکل دیده می‌شود، از نقاط دامنهٔ این تابع به همهٔ نقاط بازهٔ $( - 1,2)$ از دو طرف می‌توان نزدیک شد (مانند نقطهٔ $a$ که در شکل نشان داده شده است). چون به نقطهٔ 2 فقط از سمت چپ می‌توان نزدیک شد و به 1- فقط از سمت راست می‌توان نزدیک شد. بنابراین، حد این تابع در تمام نقاط بازهٔ $( - 1,2)$ قابل تعریف است. ولی از نقاط دامنهٔ این تابع نمی‌توان به نقاطی مانند $b$ و $c$ (در شکل زیر) که خارج از بازهٔ $\left[ { - 1,2} \right]$ هستند، نزدیک شد. بنابراین حد این تابع برای نقاط خارج از بازهٔ $\left[ { - 1,2} \right]$ قابل تعریف نیست.

به‌طور کلی در ریاضی، حد تابع‌ها به شکل زیر تعریف می‌شود:

تعریف: حد تابع

فرض کنید $f$ یک تابع و $a$ نقطه‌ای باشد که بتوان از نقاط دامنهٔ تابع $f$ (به اندازهٔ دلخواه) به آن نزدیک شد. در این حالت می‌گوییم حد $f$ در نقطهٔ $a$ قابل تعریف است.

اگر حد $f$ در نقطهٔ $a$ قابل تعریف باشد و با نزدیک شدن مقادیر متغیر $x$ (از نقاط دامنهٔ $f$) به $a$ که $x \ne a$، مقادیر $f(x)$ به عددی مانند $L$ نزدیک شوند، می‌گوییم حد تابع $f$ در نقطهٔ $a$ برابر عدد $L$ است.

این عمل را حدگیری از تابع $f$ در نقطهٔ $a$ و $a$ را نقطهٔ حدگیری می‌نامند.

در عمل حدگیری از یک تابع $f$، مقادیر $f(x)$ نمی‌توانند هم‌زمان به دو عدد مختلف نزدیک شوند، بنابراین حد یک تابع در یک نقطه، در صورت وجود، یکتاست.

برای مثال، حد تابع $f(x) = \sqrt {(x + 1)(2 - x)} $ با دامنهٔ $( - 1,2)$ را در نظر بگیرید حد این تابع در نقاط بازهٔ $( - 1,2)$ قابل تعریف است ولی برای نقاط خارج از این بازه، حد این تابع قابل تعریف نیست.

تابع $S(x) = \frac{{\sin x}}{x}$ با دامنهٔ $( - 2\pi ,2\pi ) - \left\{ 0 \right\}$ را در نظر بگیرید.

الف) دامنهٔ این تابع را به‌صورت اجتماع دو بازه بنویسید و توضیح دهید چرا نزدیک شدن به صفر از نقاط دامنهٔ این تابع از دو طرف انجام می‌شود.
دامنه: ${D_S} = \left[ { - \pi ,0} \right) \cup \left( {0,\pi } \right]$. با توجه به دامنه می‌توان گفت این تابع در بازه‌هایی به ازای مقادیر کوچک‌تر از صفر و بزرگ‌تر از صفر تعریف شده است. بنابراین نزدیک شدن به صفر از مقادیر کوچک‌تر و بزرگ‌تر از صفر (از دو طرف) انجام می‌شود.

ب) جدول زیر را کامل کنید و حد این تابع را در صفر حدس بزنید.

0/1	0/01	0/001	$ \to 0 \leftarrow $	0/001-	0/01-	0/1-	$x$
0/998	0/9998	0/9999	$ \to ? \leftarrow $	0/9999	0/9998	0/998	$S(x)$

با توجه به مقادیر تابع در نزدیکی صفر، ملاحظه می‌شود هرچه متغیر $x$ به صفر نزدیک‌تر می‌شود مقدار تابع به عدد 1 نزدیک‌تر می‌شود، یعنی حد تابع $\frac{{\sin x}}{x}$ در صفر، عدد 1 است.

ج) نمودار این تابع به شکل زیر است. درستی حدس خود را از طریق نمودار بررسی کنید.

نمودار تابع نیز نشان می‌دهد با نزدیک شدن $x$ به صفر، $S(x)$ به عدد 1 نزدیک می‌شود یعنی در نمودار نیز حدس ما تأیید می‌شود.

د) حد این تابع در چه نقاطی قابل تعریف است؟
حد این تابع در تمامی نقاط $\left[ { - \pi ,\pi } \right]$ قابل تعریف است.
در ادامه، به‌صورت مباحثه‌ای، دربارهٔ وجود و عدم وجود حد و رابطهٔ آن با قابل تعریف بودن حد بحثی ارائه می‌شود و در کار در کالس (دوم) روی آن تمرین می‌شود.

پس از آنکه سعید فهمید در چه نقاطی می‌توان حد یک تابع را تعریف کرد، سؤالی برای او پیش آمد.

- سعید پرسید: در محاسبهٔ حد یک تابع در یک نقطه، از کجا معلوم است که مقادیر تابع حتماً به عدد خاصی نزدیک می‌شوند؟

- دبیر گفت: وقتی حد یک تابع را در یک نقطه بررسی می‌کنیم، لزومی ندارد حتماً مقادیر تابع به عدد خاصی نزدیک شوند. ممکن است مقادیر تابع به هیچ عدد خاصی نزدیک نشوند. در این حالت می‌گویند تابع در آن نقطه حد ندارد.

- سعید گفت: پس آیا می‌توان گفت که اگر حد یک تابع در یک نقطه قابل تعریف باشد، ممکن است تابع در آن نقطه حد نداشته باشد؟

- دبیر گفت: بله، قابل تعریف بودن حد تابع در یک نقطه به معنای وجود حد در آن نقطه نیست. برای مثال، حد تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ با دامنهٔ $(0, + \infty )$ را در صفر بررسی می‌کنیم. ابتدا جدول مقادیر تابع را در برخی نقاط نزدیک صفر تشکیل می‌دهیم. از آنجا که دامنهٔ تابع فقط نقاط سمت راست صفر را در بردارد، فقط نقاط نزدیک صفر را که سمت راست صفر قرار دارند، در جدول قرار می‌دهیم.

این جدول نشان می‌دهد که هر چه $x$ به صفر (با مقادیر مثبت) نزدیک‌تر می‌شود، مقادیر $\frac{1}{x}$ بزرگ‌تر می‌شوند. نمودار این تابع نیز همین مطلب را نشان می‌دهد. آیا در این وضعیت، مقادیر $\frac{1}{x}$ به عدد خاصی نزدیک می‌شوند؟

- سعید گفت: خیر، چون مقادیر $\frac{1}{x}$ در حال بزرگ شدن هستند و به هیچ عدد خاصی نزدیک نمی‌شوند. بنابراین، تابع با قانون $\frac{1}{x}$ و دامنهٔ $(0, + \infty )$ در صفر، حد ندارد.

مثال 5

آیا تابع $g(x) = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ 1 \right\}$ در $x = 1$، حد دارد.

دامنهٔ این تابع به‌صورت $( - \infty ,1) \cup (1, + \infty )$ است و می‌توان از دو طرف از نقاط دامنهٔ تابع به 1 نزدیک شد. بنابراین، جدول مقادیر این تابع را در نزدیک 1 به شکل زیر تشکیل می‌دهیم.

این جدول نشان می‌دهد که با نزدیک شدن $x$ به 1، مقادیر $\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}$ بزرگ می‌شوند و به هیچ عدد خاصی نزدیک نمی‌شوند. نمودار این تابع نیز همین مطلب را نشان می‌دهد.

بنابراین، این تابع در $x = 1$ حد ندارد.

در این مثال‌ها دیدیم که ممکن است حد یک تابع مانند $f$ در یک نقطه مانند $a$ قابل تعریف باشد، ولی با نزدیک شدن $x$ از نقاط دامنهٔ $f$ به $(x \ne a)\,a$، مقادیر $f(x)$ به عدد خاصی نزدیک نشوند. در این حالت می‌گوییم تابع $f$ در نقطهٔ $a$ حد ندارد.

موارد الف و ب را برای هر یک از تابع‌های $f(x),g(t),h(x)$ بررسی کنید.

الف) آیا حد تابع در صفر قابل تعریف است؟
ب) در صورت قابل تعریف بودن، وجود حد و مقدار آن را (در صورت وجود) با کامل کردن جدول و رسم نمودار به کمک جئوجبرا، بررسی کنید.

1- تابع $h(x) = \sin x$ با دامنهٔ $( - \pi ,\pi )$

0/1	0/01	0/001	$ \to 0 \leftarrow $	0/001-	0/01-	0/1-	$x$
0/099	0/009		$ \to ? \leftarrow $		0/009	0/099-	$\sin x$

2- تابع $g(t) = \frac{{\sqrt {{t^2} + t} }}{t}$ با دامنهٔ $(0,4)$

0/1	0/01	0/001	0/0001	$0 \leftarrow $	$t$
3/32	10/05	31/64		$? \leftarrow $	$g(t)$

3- تابع $f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + {x^6}} }}{{{x^2}}}$ با دامنهٔ $( - 5,5) - \left\{ 0 \right\}$

0/1	0/01	0/001	$ \to 0 \leftarrow $	0/001-	0/001-	0/01	$x$
1/004	1/00004		$ \to ? \leftarrow $			1/004	$f(x)$

برای نمایش حد یک تابع از نماد $\lim $ استفاده می‌شود. برای بیان حد تابع $f(x)$، از عبارت $\lim f(x)$ استفاده می‌کنیم. با توجه به اینکه حد یک تابع در یک نقطه (نقطهٔ حدگیری)، تعریف و محاسبه می‌شود، نقطهٔ حدگیری نیز باید در نماد حد، نمایش داده شود. برای مثال، اگر حدگیری در نقطه‌ای مانند $a$ انجام شود، از نماد $x \to a$ برای بیان این مطلب استفاده می‌شود که نشانگر آن است که $x$ (متغیر تابع) در حال نزدیک شدن به $a$ (میل کردن به $a$) است. نماد $x \to a$ را در زیر نماد $\lim $ می‌نویسند. به‌عبارت دیگر:

حد تابع $f$ در نقطهٔ $a$ به‌صورت $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)$ نمایش داده می‌شود.

از آنجا که نماد $x \to a$ نشانگر میل کردن $x$ به $a$ است، $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)$ به‌صورت «حد $f(x)$ وقتی $x$ به $a$ میل می‌کند» خوانده می‌شود.

مثال 6

اگر حد تابع با قانون $x + 2$ و دامنهٔ $R$ را در $x + 3$ با تشکیل جدول پیدا کنیم، برابر 5 می‌شود.

بنابراین می‌توانیم بنویسیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x + 2) = 5$

عبارت بالا را به‌صورت زیر می‌خوانیم:

«حد تابع $x + 2$ وقتی $x$ به 3 میل می‌کند، برابر 5 است».

مثال 7

در کار در کلاس اول حد تابع $\frac{{\sin x}}{x}$ با دامنهٔإ $( - 2\pi ,2\pi ) - \left\{ 0 \right\}$ را در $x = 0$ محاسبه کردید. مقدار این حد برابر 1 بود، بنابراین می‌توانیم بنویسیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$

عبارت بالا را به‌صورت زیر می‌خوانیم:

«حد تابع $\frac{{\sin x}}{x}$ وقتی $x$ به صفر میل می‌کند، برابر 1 است».

مثال 8

در مثال (2) دیدیم حد تابع $g(x) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}$ با دامنهٔ $R - \left\{ 2 \right\}$ در نقطهٔ $x = 2$ برابر 3 است. بنابراین می‌توانیم بنویسیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} = 3$

عبارت بالا را به‌صورت زیر می‌خوانیم:

«حد تابع $\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}$ وقتی $x$ به 2 میل می‌کند، برابر 3 است.»

مثال 9

تابع $f(x) = x$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در نظر بگیرید. مقدار تابع در هر نقطه مانند $x$، همان $x$ است. بنابراین، با نزدیک شدن $x$ به هر نقطه‌ای مانند $a$، مقادیر $f(x)$ (که همان $x$ است) نیز به $a$ نزدیک می‌شوند.

برای مثال در نقطه 3 جدول این تابع در نزدیکی این نقطه به شکل زیر است.

بنابراین $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} = 3$

به‌طور کلی حد این تابع در همة نقاط وجود دارد و می‌توانیم بنویسیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x = a$

مثال 10

تابع ثابت $f(x) = c$ را با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در نظر بگیرید. نمودار این تابع نشان می‌دهد که با نزدیک شدن $x$ به هر نقطه‌ای مانند $a$ (شکل زیر)، مقادیر $f(x)$ همان مقدار ثابت $c$ است.

در این وضعیت حد این تابع همان $c$ است؛ یعنی حد تابع ثابت در هر نقطه‌ای وجود دارد و برابر همان مقدار ثابت است. بنابراین،

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} c = c$

با استفاده از نماد حد، حد تابع‌های زیر را به زبان ریاضی بنویسید.

الف) حد تابع $3x - 1$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در $x = 2$ برابر 5 است.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (3x - 1) = 5$

ب) حد تابع $g(x) = \frac{x}{{x + 1}}$ با دامنهٔ $( - \infty , - 1)$ در $x = - 3$ برابر $\frac{3}{2}$ است.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{x}{{x + 1}} = \frac{3}{2}$

ج) حد تابع $\sqrt {{x^2} - 1} $ با دامنهٔ $(1, + \infty )$ در $x = 1$ برابر صفر است.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {{x^2} - 1} = 0$

د) حد تابع ثابت با مقدار 8 در $x = - 1$ برابر 8 است.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 8 = 8$

1- شکل زیر، نمودار تابع $h$ را نشان می‌دهد.

الف) در کدام‌یک از نقاط 1، 2، 3، 4، 5 و 6 حد این تابع قابل تعریف است؟ چرا؟
حد این تابع در نقاط $x = 2,3,4,5$ قابل تعریف است. چون نمودار تابع نشان می‌دهد که می‌توانیم متغیر $x$ را (در دامنه تابع) روی محور طول‌ها به این نقاط نزدیک کنیم. نقاط $x = 1,6$ از دامنه تابع دور هستند و نمی‌توانیم از دامنهٔ تابع به این نقاط نزدیک شویم. بنابراین حد این تابع در نقاط $x = 1,6$ قابل تعریف نمی‌باشد.

ب) در کدام‌یک از نقاط 3، 4، 5 حد این تابع موجود است؟ حد این تابع در این نقاط را در صورت وجود بیابید و با نماد حد بنویسید.

حد تابع در نقاط $x = 2,4,5$ موجود است.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 3\,\,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) = 3/5\,\,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f(x) = 1$

2- حدهای زیر را به زبان فارسی بیان کنید. دامنهٔ این تابع‌ها را بازهٔ $(0, + \infty )$ در نظر بگیرید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt x = 0$ (الف

حد تابع $\sqrt x $ وقتی $x$ به صفر میل می‌کند، برابر 0 است.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{4}} \frac{1}{x} = 4$ (ب

حد تابع $\frac{1}{x}$ وقتی $x$ به $\frac{1}{4}$ میل می‌کند، برابر 4 است.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \sin x = 1$ (ج

حد تابع $\sin x$ وقتی $x$ به $\frac{\pi }{2}$ میل می‌کند، برابر 1 است.

3- تابع $f(x) = \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}}$ با دامنهٔ $R - \left\{ { - 2,2} \right\}$ را در نظر بگیرید. حد این تابع در چه نقاطی قابل تعریف است؟
حد تابع $f$ در تمامی نقاط $R$ قابل تعریف می‌باشد. زیرا از داخل دامنهٔ تابع $f$ به هر عدد حقیقی می‌توان نزدیک شد.

4- تابع $f(x) = \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{x - 2}}$ را با دامنهٔ $(2, + \infty )$ در نظر بگیرید. حد این تابع در چه نقاطی قابل تعریف است؟ به کمک تشکیل جدول این تابع در نزدیک 2، وجود حد این تابع در $x = 2$ را بررسی کنید.
حد این تابع در تمامی نقاط $\left[ {2, + \infty } \right)$ قابل تعریف است.

2/1	2/01	2/001	2/0001	2/00001	$2 \leftarrow $	$x$
3/16	10	31/6	100	316	$? \leftarrow $	$f(x)$

حد این تابع در $x = 2$ وجود ندارد. چون با نزدیک شدن مقادیر $x$ به 2، مقادیر $f(x)$ در حال بزرگ شدن هستند و به هیچ عدد خاصی نزدیک نمی‌شوند. بنابراین تابع با قانون $\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{x - 2}}$ و دامنهٔ $(2, + \infty )$ در $x = 2$ حد ندارد.

5- تابعی خطی با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در نظر بگیرید و حد آن را در 1 بررسی کنید. آیا حد این تابع در هر نقطهٔ دیگری هم وجود دارد؟
برای مثال، تابع $f(x) = 2x + 1$ با دامنه $R$ را در نظر بگیرید. با توجه به نمودار، حد تابع $f$ در $x = 1$ برابر 3 می‌باشد. حد این تابع در هر نقطه دیگری هم وجود دارد.

6- تابع $g(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ با دامنهٔ $( - \infty , - 2) \cup (2, + \infty )$ را در نظر بگیرید.

الف) حد این تابع در چه نقاطی قابل تعریف است؟
حد این تابع در نقاط $\left( { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right)$ قابل تعریف می‌باشد.

ب) نمودار این تابع به شکل زیر است. حدس بزنید حد این تابع در چه نقاطی وجود دارد و در چه نقاطی وجود ندارد؟

با توجه به نمودار تابع، حد تابع در نقاط $( - \infty , - 2) \cup (2, + \infty )$ وجود دارد و در نقاط $x = - 2$ و $x = 2$ وجود ندارد.

7- تابع $g(x) = 1 + \sqrt x $ با دامنهٔ $\left[ {0, + \infty } \right)$ را در نظر بگیرید.

الف) با تشکیل جدول این تابع در نزدیکی‌های 4 حد این تابع را در 4 بیابید و با نماد حد بنویسید.

3/9	3/99	3/999	$ \to 4 \leftarrow $	4/001	4/01	4/1	$x$
2/97	2/99	2/999	$ \to 3 \leftarrow $	3/0002	3/002	3/02	$g(x)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g(x) = 3$

ب) حد این تابع در چه نقاطی قابل تعریف نیست؟

با توجه به نمودار می‌توان گفت، با نزدیک شدن $x$ به هر نقطه‌ای مانند $a$، در بازهٔ $\left[ {0, + \infty } \right)$ مقادیر $g(x)$ نیز به $1 + \sqrt a $ نزدیک می‌شود.

ج) با رسم نمودار این تابع به کمک جئوجبرا مشخص کنید، حد این تابع در چه نقاطی وجود دارد و در چه نقاطی وجود ندارد.
حد این تابع در نقاط خارج از بازهٔ $\left[ {0, + \infty } \right)$ قابل تعریف نمی‌باشد.

8- آیا حد تابع $h(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2 - x}}$ با دامنهٔ $( - \infty ,2)$ در 2 قابل تعریف است؟ با تشکیل جدول و رسم نمودار این تابع، حد آن را در 2، در صورت وجود، بیابید و با نماد حد بنویسید.
حد تابع $h$ در $x = 2$ قابل تعریف است و با توجه به شکل و جدول زیر می‌توان گفت:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h(x) = - 1$

محاسبهٔ حد تابع‌ها

با یادگیری مفهوم حد، سعید به دنبال جواب این سؤال بود که حد را چگونه می‌توان محاسبه کرد؟

- سعید گفت: برای یافتن حد یک تابع، ما مقادیر تابع را در نزدیک نقطهٔ حدگیری به کمک قانون تابع، محاسبه می‌کردیم و با استفاده از این مقادیر، حد تابع را حدس می‌زدیم. از کجا معلوم، حدس ما درست باشد؟ آیا روش‌های دیگری برای یافتن حد تابع‌ها داریم؟

- دبیر گفت: سؤال خوبی است. ما نمی‌توانیم فقط به حدس خود اطمینان کنیم. روش‌هایی برای محاسبهٔ حد تابع‌ها وجود دارند که به کمک آن‌ها، حد بسیاری از تابع‌ها را می‌توان محاسبه کرد. برای مثال، اگر تابعی از جمع یا ضرب تابع‌های ساده‌تر ساخته شده باشد، می‌توانیم از حد همان تابع‌های ساده‌تر برای محاسبهٔ حد آن تابع استفاده کنیم.

فعالیت زیر یکی از این روش‌های محاسبهٔ حد را با یک مثال نشان می‌دهد.

دو تابع $f(x) = \sqrt x $ و $g(x) = \frac{x}{4}$ را با دامنهٔ یکسان $(0,4)$ در نظر بگیرید. مجموع این دو تابع را به‌صورت $h(x) = \frac{x}{4} + \sqrt x $ نشان می‌دهیم که دامنهٔ آن همان بازهٔ $(0,4)$ است.

1- جدول زیر را برای یافتن حد سه تابع $f$ و $g$ و $h$ در نقطهٔ 4 کامل کنید.

$ \to 4$	3/999	3/99	3/9	3/5	3	$x$
$ \to ?$	1/999	1/997	1/974	1/870	1/732	$f(x)$
$ \to ?$	0/999	0/997	0/975	0/875	0/750	$g(x)$
$ \to ?$	2/999	2/987	2/949	2/745	2/482	$h(x)$

2- حد هر تابع را در نقطهٔ 4 جداگانه به‌دست آورید. چه رابطه‌ای بین حد این سه تابع در نقطهٔ 4 می‌یابید؟

داریم: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} h(x) = 3\,\,\,,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g(x) = 1\,\,\,,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) = 2$
می‌توان دید: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g(x)$

3- جدول زیر را برای یافتن حد این سه تابع در نقطهٔ 1 کامل کنید.

1/1	1/01	1/001	$ \to 1 \leftarrow $	0/999	0/99	0/9	$x$
1/048	1/004	1/000	$ \to ? \leftarrow $	0/999	0/994	0/948	$f(x)$
0/275	0/252	0/250	$ \to ? \leftarrow $	0/249	0/247	0/225	$g(x)$
1/323	1/256	1/250	$ \to ? \leftarrow $	1/249	1/241	1/173	$h(x)$

4- حد هر تابع در نقطهٔ 1 را جداگانه به‌دست آورید. چه رابطه‌ای بین حد این سه تابع در نقطهٔ 1 می‌یابید؟

داریم: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h(x) = 1/25\,\,\,,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = 0/25\,\,\,,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 1$
می‌توان دید: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)$

5- در حالت کلی بین حد دو تابع و حد مجموع آن دو تابع (در یک نقطهٔ مشخص) چه رابطه‌ای را حدس می‌زنید؟

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)$

در این فعالیت، دو تابع مشخص $f$ و $g$ با دامنهٔ یکسان ارائه شده‌اند. با جمع قانون‌های $f$ و $g$ تابع دیگری با همان دامنهٔ مشترک این دو تابع به‌دست می‌آید (تابع $h$). در حالت کلی با جمع هر دو تابع دلخواه که دامنهٔ یکسانی دارند، می‌توانیم تابعی با همان دامنهٔ مشترک آن‌ها به‌دست آوریم. این عمل را جمع کردن تابع‌ها می‌نامند. در این فعالیت حد مجموع این دو تابع در یک نقطهٔ مشخص بررسی شد. دیدیم که با نزدیک شدن $x$ به 1، مقادیر $f(x)$ به 1 و مقادیر $g(x)$ به $\frac{1}{4}$ نزدیک می‌شوند، بنابراین مقادیر $f(x) + g(x)$ به $1 + \frac{1}{4}$ نزدیک می‌شوند. این بررسی نشان می‌دهد که حد مجموع این دو تابع در یک نقطه برابر با مجموع حدهای این دو تابع در همان نقطه است.

به‌طور کلی اگر حد دو تابع $f$ و $g$ (با دامنهٔ یکسان) در نقطهٔ $a$ به‌ترتیب ${L_1}$ و ${L_2}$ باشند، به عبارت دیگر با نزدیک شدن $x$ به $a$، مقادیر $f(x)$ به ${L_1}$ و مقادیر $g(x)$ به ${L_2}$ نزدیک شوند، مقادیر $f(x) + g(x)$ به ${L_1} + {L_2}$ نزدیک می‌شوند. پس، می‌توانیم نتیجه بگیریم مجموع دو تابع $f$ و $g$ نیز در نقطهٔ $a$ حد دارد و حد آن ${L_1} + {L_2}$ است.

تابع‌های با دامنهٔ یکسان را می‌توان در هم ضرب کرد و تابع دیگری با همان دامنهٔ مشترک به‌دست آورد. این عمل را ضرب تابع‌ها می‌نامند. برای ضرب دو تابع $f$ و $g$ نیز نتیجه مشابهی به‌دست می‌آید: اگر با نزدیک شدن $x$ به نقطهٔ $a$، مقادیر $f(x)$ به ${L_1}$ و مقادیر $g(x)$ به ${L_2}$ نزدیک شوند، مقادیر $f(x).g(x)$ به ${L_1}{L_2}$ نزدیک می‌شوند. پس می‌توانیم نتیجه بگیریم حاصل ضرب دو تابع $f$ و $g$ نیز در نقطۀ $a$ حد دارد و حد آن ${L_1}{L_2}$ است.

با استفاده از نماد حد تابع، می‌توانیم حد مجموع و حاصل‌ضرب دو تابع را به شکل زیر بنویسیم.

حد مجموع و حاصل‌ضرب دو تابع

اگر دو تابع $f$ و $g$ (با دامنهٔ یکسان) در $x = a$ حد داشته باشند، آنگاه مجموع و حاصل‌ضرب‌های این دو تابع نیز در $a$ حد دارند و

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f(x) + g(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f(x).g(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x).\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)$

وضعیت تفاضل تابع‌ها نیز مشابه جمع تابع‌هاست و حد تفاضل دو تابع (با دامنهٔ یکسان) در یک نقطه، برابر است با تفاضل حد آن دو تابع در آن نقطه، یعنی:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f(x) - g(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)$

برای جمع سه تابع (یا بیشتر) نیز حد مجموع آن‌ها در یک نقطه، برابر مجموع حد آن تابع‌ها در آن نقطه است. همچنین، برای ضرب سه تابع (یا بیشتر) نیز حد حاصل ضرب آن‌ها، در یک نقطه، برابر حاصل‌ضرب حد آن تابع‌ها در آن نقطه است.

مثال 11

حد تابع $f(x) = {x^2}$ با دامنهٔ $R$ را در $x = - 2$ به‌دست آورید.

این تابع به‌صورت ضرب تابع $g(x) = x$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در خودش است و داریم $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} x = - 2$ بنابراین:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} (x.x) = (\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} x)(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} x) = ( - 2)( - 2) = 4$

مثال 12

حد تابع $f(x) = {x^2}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در نقطهٔ دلخواه $a$ به‌دست آورید.

طبق مثال (9)، داریم $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x = a$ و می‌توانیم بنویسیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^2} = a = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (x.x) = (\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x)(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x) = a.a = {a^2}$

مثال 13

حد تابع $k(x) = 6x$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در $x = 2$ به‌دست آورید.

تابع $k(x)$ به صورت ضرب تابع $g(x) = x$ در تابع ثابت $f(x) = 6$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ است. پس می‌توانیم بنویسیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 6x = (\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 6)(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x) = 6 \times 2 = 12$

مثال 14

حد تابع $f(x) = {x^2} + x - 5$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در $x = 2$ به‌دست آورید.

این تابع به‌صورت مجموع سه تابع $g(x) = {x^2}$ و $h(x) = x$ و تابع ثابت $k(x) = - 5$ است. بنابراین:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + x - 5) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ( - 5) = {2^2} + 2 - 5 = 1$

مثال 15

حد تابع $h(x) = {x^3}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در نقطهٔ دلخواه $a$ به‌دست آورید.

اگر تابع $g(x) = x$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را سه بار در خودش ضرب کنیم، تابع $h$ به‌دست می‌آید. پس می‌توانیم بنویسیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (x.x.x) = (\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x)(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x)(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x) = a.a.a = {a^3}$

الف) حد تابع $f(x) = {x^3} - 5{x^2}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در $x = - 1$ به‌دست آورید.

$\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^3} - 5{x^2}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x^3} - \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 5{x^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} x.x.x - \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 5.x.x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ( - 1)( - 1)( - 1) - 5 \times ( - 1)( - 1) = - 6 \cr} $

ب) حد تابع $f(x) = {x^3} - 5{x^2}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در یک نقطهٔ دلخواه $a$ به‌دست آورید.

$\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to a} ({x^3} - 5{x^2}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^3} - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} 5{x^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} x.x.x - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} 5 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} x.x = {a^3} - 5{a^2} \cr} $

- سعید گفت: در تمام مثال‌هایی که تاکنون از تابع‌های چندجمله‌ای دیدیم، حد آن‌ها در هر نقطه، همان مقدار تابع در آن نقطه بود. آیا این مطلب برای همهٔ تابع‌های چندجمله‌ای درست است؟

- دبیر گفت: به نکتهٔ خوبی توجه کردی. فعالیت زیر می‌تواند جوابی برای سؤال شما فراهم کند.

1- با به‌دست آوردن حد تابع‌های داده‌ شده، جدول زیر را کامل کنید. دامنهٔ این تابع‌ها $\mathbb{R}$ می‌باشند.

${x^n}$	${x^6}$	${x^5}$	${x^4}$	${x^3}$	${x^2}$	$x$	$f(x)$
${a^n}$	${a^6}$	${a^5}$	${a^4}$	${a^3}$	${a^2}$	$a$	$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)$

2- توضیح دهید چرا برای تابع چندجمله‌ای $f(x) = b{x^n}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ برای یک نقطهٔ دلخواه $a$ داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} b{x^n} = b{a^n}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} b{x^n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} b \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^n} = b{a^n}$

3- حد تابع چندجمله‌ای $P(x) = 4{x^5} - 3{x^3} + 7x - 4$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در نقطهٔ دلخواه $a$ به‌دست آورید.

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to a} P(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (4{x^5} - 3{x^3} + 7x - 4) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} 4{x^3} - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} 3{x^3} + \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to a} 7x - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} 4 = 4{a^5} - 3{a^3} + 7a - 4 = P(a) \cr} $

در این فعالیت، ابتدا حد تابع‌هایی به‌صورت ${x^n}$ را در نقاط دلخواه به کمک حد حاصل ضرب تابع‌ها به‌دست آوردیم. سپس، حد تابع‌هایی به‌صورت $b{x^n}$ را در نقاط دلخواه به‌دست آوردیم. سپس، برای یک چندجمله‌ای خاص، به کمک حد مجموع تابع‌ها، مشاهده کردیم که حد آن تابع چندجمله‌ای در هر نقطه‌ای برابر با مقدار آن تابع در آن نقطه است. این مطلب برای هر تابع چندجمله‌ای دلخواهی برقرار است.

برای هر تابع چندجمله‌ای مانند $P(x)$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ برای یک نقطهٔ دلخواه $a$ داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} P(x) = P(a)$

- سعید پرسید: دیدیم که تابع‌ها را می‌توانیم با هم جمع یا در هم ضرب کنیم و تابع جدیدی به‌دست آوریم. آیا تابع‌ها را می‌توانیم بر هم تقسیم کنیم؟

- دبیر گفت: بله، تقسیم تابع‌ها نیز همانند ضرب تابع‌هاست. ولی باید دقت کنیم که مقادیر تابعی که در مخرج قرار می‌گیرد، صفر نباشند. اگر $f$ و $g$ دو تابع با دامنهٔ یکسان $D$ باشند و به ازای هر $x$ در دامنهٔ $D$ داشته باشیم: $g(x) \ne 0$، آنگاه می‌توانیم تابعی با قانون $\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ و دامنهٔ $D$ بسازیم که آن را تابع تقسیم $f$ بر $g$ می‌نامند. این‌گونه تابع‌ها را تابع کسری می‌نامیم و $f$ را تابع صورت کسر و $g$ را تابع مخرج کسر می‌نامند.

- سعید پرسید: آیا برای محاسبهٔ حد تقسیم دو تابع نیز روشی داریم؟

- دبیر گفت: در موارد خاصی می‌توانیم حد تقسیم دو تابع را هم به‌دست آوریم.

فرض کنید حد دو تابع $f$ و $g$ (با دامنهٔ یکسان) در نقطهٔ $a$ به ترتیب ${L_1}$ و ${L_2}$ باشند و ${L_2} \ne 0$. با نزدیک شدن مقادیر $x$ به $a$، مقادیر $f(x)$ به ${L_1}$ و مقادیر $g(x)$ به ${L_2}$ نزدیک می‌شوند. بنابراین، مقادیر $\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ به $\frac{{{L_1}}}{{{L_2}}}$ نزدیک می‌شوند و می‌توانیم نتیجه بگیریم تابع تقسیم $f$ بر $g$ در نقطهٔ $a$ حد دارد و حد آن $\frac{{{L_1}}}{{{L_2}}}$ است.

حد حاصل تقسیم دو تابع

فرض کنید دو تابع $f$ و $g$ (با دامنهٔ یکسان) در یک نقطه مانند $a$ حد داشته باشند و $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) \ne 0$، آنگاه تابع تقسیم $f$ بر $g$ نیز در نقطهٔ $a$ حد دارد و

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)}}$

مثال 16

تابع $h(x) = \frac{{3x}}{{{x^2} + 1}}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در نظر بگیرید.

الف) حد این تابع را در نقطهٔ $x = - 1$ به‌دست آورید.
ب) حد این تابع را در نقطهٔ دلخواه $a$ به‌دست آورید.

تابع $h$ به‌صورت تقسیم تابع $3x$ بر تابع ${x^2} + 1$ در دامنهٔ $\mathbb{R}$ است. حد تابع مخرج در $x = - 1$ برابر 2 است که عددی ناصفر است. بنابراین:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{3x}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 3x}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^2} + 1)}} = \frac{{ - 3}}{{{{( - 1)}^2} + 1}} = - \frac{3}{2}$

اما در نقطهٔ دلخواه $a$ حد تابع مخرج این کسر برابر ${a^2} + 1$ است که عددی ناصفر است. بنابراین:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{3x}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 3x}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} ({x^2} + 1)}} = \frac{{3a}}{{{a^2} + 1}}$

مثال 17

تابع $g(x) = \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} - 1}}$ را با دامنهٔ $R - \left\{ { - 1,1} \right\}$ در نظر بگیرید.

الف) حد این تابع را در $x = 3$ به‌دست آورید.
ب) حد این تابع را در نقطهٔ دلخواه $a$ از دامنهٔ آن به‌دست آورید.

تابع $g$ به‌صورت تقسیم تابع ${x^3} + 1$ بر تابع ${x^2} - 1$ در دامنهٔ داده شده است. در نقطهٔ 3، حد تابع مخرج برابر 8 است $(8 \ne 0)$. بنابراین:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {x^3} + 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {x^2} - 1}} = \frac{{28}}{8} = \frac{7}{2}$

اما در نقطهٔ دلخواه $a$، حد تابع مخرج این کسر برابر ${a^2} - 1$ است. چون $a$ در دامنهٔ تابع است نمی‌تواند 1 یا 1- باشد و داریم $a \ne \pm 1$. پس، ${a^2} - 1 \ne 0$. بنابراین:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^3} + 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^2} - 1}} = \frac{{{a^3} + 1}}{{{a^2} + 1}}$

- سعید پرسید: اگرچه در تقسیم دو تابع، مقادیر تابع مخرج کسر، هیچگاه صفر نمی‌شود، ولی حد آن در یک نقطه ممکن است صفر شود. در این حالت، آیا می‌توانیم در مورد حد آن تابع کسری در آن نقطه، چیزی بگوییم؟

- دبیر گفت: در این حالت، بررسی وجود حد و محاسبهٔ حد کمی مشکل‌تر است. باید ببینیم حد تابع صورت کسر در آن نقطه (در صورت وجود) چگونه است. دو حالت ممکن است پیش آید: یا حد صورت کسر صفر است یا حد صورت کسر عددی ناصفر است.

- حمید گفت: در حالتی که حد صورت کسر عددی ناصفر باشد، آیا می‌توانیم بگوییم چون عدد ناصفر تقسیم بر صفر، بی‌نهایت است پس تابع کسری در آن نقطه حد ندارد؟

- دبیر گفت: خیر، این طوری نباید بگوییم. نباید از تقسیم عدد بر صفر صحبت کنیم، چون این عمل تعریف نشده است. همچنین، بی‌نهایت عدد نیست تا بخواهد با چیزی برابر شود. ولی وقتی حد صورت یک تابع کسری در نقطه‌ای عددی ناصفر و حد تابع مخرج، صفر باشد، می‌توان نتیجه گرفت که تابع کسری در آن نقطهٔ خاص، حد ندارد. زیرا با نزدیک شدن متغیر به آن نقطه، مقادیر تابع به هیچ عدد خاصی نزدیک نخواهند شد.

- سعید پرسید: در حالتی که حد تابع صورت و تابع مخرج یک تابع کسری در یک نقطه صفر شوند، دربارهٔ حد آن تابع چه می‌توانیم بگوییم؟

- دبیر گفت: در این حالت، وجود یا نبود حد، بستگی به تابع‌های صورت و مخرج آن تابع کسری دارد. ممکن است تابع کسری حد داشته باشد یا نداشته باشد. به همین دلیل این حالت را مبهم نامیده‌اند. در این حالت، برای تشخیص وجود یا نبود حد، هر تابع کسری را باید جداگانه بررسی کرد.

مثال 18

حد تابع $\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}$ با دامنهٔ $(0,1)$ را در $x = 1$ بررسی کنید.

حد تابع صورت و تابع مخرج این کسر در $x = 1$، صفر است و با یک حالت مبهم روبرو هستیم. در این مثال، می‌توانیم تابع‌های صورت و مخرج را به‌صورت ضرب یک چندجمله‌ای در $x - 1$ بنویسیم و با ساده‌سازی به شکل زیر حد را محاسبه کنیم.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x - 2}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + 1}} = \frac{{ - 1}}{2}$

توجه داشته باشید که در محاسبات بالا، مقادیر $x - 1$ همواره ناصفراند (زیرا $x$ هیچ‌گاه برابر 1 نخواهد شد) پس این عامل را می‌توان از صورت و مخرج ساده کرد. در حالت کلی، وقتی تابع‌های صورت و مخرج چندجمله‌ای باشند و حد هر دو تابع در نقطه‌ای مانند $a$ صفر شوند، می‌توان آن‌ها را به‌صورت ضرب عواملی در $x - a$ نوشت و عامل $x - a$ را از صورت و مخرج ساده کرد.

خواندنی: لطفی‌زاده

لطفی علی‌عسکرزاده اردبیلی (15 بهمن 1299-15 شهریور 1396) مشهور به لطفی‌زاده، ریاضی‌دان، دانشمند رایانه، مهندس برق و استاد علوم رایانه در دانشگاه کالیفرنیا، برکلی و مبدع نظریه منطق فازی و شاخه‌های متنوع آن بود. لطفی‌زاده از پدری ایرانی (اردبیلی) در باکو زاده شد و تحصیلات اولیه خود را در باکو و تهران انجام داد. او بیش از همه به خاطر طرح کردن ریاضیات فازی مشتمل بر مفاهیم مرتبط فازی همچون مجموعه‌های فازی، منطق فازی، الگوریتم‌های فازی، کنترل فازی و احتمالات فازی شناخته شده است. گفته می‌شود نوآوری‌های او، امکان‌پذیری یک نگاه و روش جدید در هوش مصنوعی را تبیین، و رئوس کلی آن را ترسیم کرده است. لطفی‌زاده بیش از 35 دکترای افتخاری از دانشگاه‌های معتبر جهان و جوایز بسیاری از ژاپن، آمریکا، اتحاد جماهیر شوروی، روسیه، آذربایجان و ایران دریافت کرد و عضو آکادمی‌های علمی بی‌شماری بود. او در سال 1973 میلادی به عضویت در آکادمی ملی مهندسی برگزیده شد.

وی یکی از پژوهشگران با بیشترین ارجاع (highly-cited) در مقالات علمی دنیاست. بیش از 200 مقاله علمی را به‌تنهایی در کارنامه علمی خود دارد و در هیئت تحریریه 50 مجله علمی جهان مقام «مشاور» را دارا بوده است.

مثال 19

حد تابع $\frac{{{x^2} - 4}}{{{{(x - 2)}^2}}}$ را با دامنهٔ $(0,2)$ در $x = 2$ بررسی کنید.

در این مثال نیز حد تابع صورت و تابع مخرج این کسر در $x = 2$ صفر است و با یک حالت مبهم روبرو هستیم. صورت و مخرج را به شکل ضرب عامل‌هایی در $x - 2$ می‌نویسیم و پس از ساده‌سازی آن، به کسر $\frac{{x + 2}}{{x - 2}}$ می‌رسیم. پس از این ساده‌سازی، به یک تابع کسری می‌رسیم که حد تابع صورت در نقطهٔ $x = 2$ عددی ناصفر است ولی حد تابع مخرج کسر در این نقطه صفر است. بنابراین تابع کسری داده شده، در نقطهٔ $x = 2$ حد ندارد.

نتیجۀ به‌دست آمده را به کمک شکل بهتر می‌توانید بررسی کنید.

مثال 20

حد تابع $f(x) = \frac{{\sin x}}{x}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}$ را در صفر به‌دست آورید.

تابع $f$، یک تابع کسری است که حد تابع صورت و تابع مخرج آن در نقطهٔ صفر، برابر صفر است. پس با یک حالت مبهم روبرو هستیم. در اینجا تابع صورت، چندجمله‌ای نیست و نمی‌توانیم از روش ساده‌سازی استفاده کنیم. اما روش محاسبهٔ مستقیم مقادیر تابع در نزدیکی‌های نقطهٔ حدگیری، همواره قابل انجام است. حد این تابع را با این روش، در «کار در کلاس اول» به‌دست آورده‌ایم و دیدیم که این تابع در نقطهٔ صفر حد دارد و حد آن 1 است.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$

اگر برای محاسبهٔ حد یک تابع، نتوانیم از روش‌هایی مانند ساده‌سازی و روش‌های دیگر استفاده کنیم، همواره می‌توان از روش محاسبهٔ مستقیم مقادیر تابع در نزدیکی‌های نقطهٔ حدگیری استفاده کنیم و با تشکیل جدول مقادیر تابع در نزدیکی‌های نقطهٔ حدگیری، وجود حد، مقدار حد یا نبود حد را حدس بزنیم.

وجود حد تابع‌های زیر را در نقاط داده‌شده بررسی کنید. در صورت وجود حد، آن را بیابید و با نماد حد بنویسید.

الف) تابع $\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ 3 \right\}$ در $x = 3$.

تابع $\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}$ با دامنهٔ $R - \left\{ 3 \right\}$ در $x = 3$:
حد صورت و مخرج این کسر در $x = 3$ صفر است و با یک حالت مبهم روبرو هستیم. اگر چند جمله‌ای صورت را به‌صورت حاصل ضرب یک عامل در $(x - 3)$ بنویسیم، خواهیم داشت:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)(x + 3)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x + 3)}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x + 3) = 6$

ب) تابع $\frac{{(x + 1)\sin x}}{{x(x + 2)}}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ { - 2,0} \right\}$ در $x = 0$ (راهنمایی: این تابع را به‌صورت ضرب دو تابع مناسب بنویسید).

تابع $\frac{{(x + 1)\sin x}}{{x(x + 2)}}$ با دامنهٔ $R - \left\{ { - 2,0} \right\}$ در $x = 0$:
حد صورت و مخرج این کسر در $x = 0$، عدد صفر است. اگر این تابع را به‌صورت حاصل‌ضرب دو تابع کسری که یکی از آن‌ها $\frac{{\sin x}}{x}$ می‌باشد، بنویسیم آنگاه می‌توانیم با استفاده از قاعدهٔ حد حاصل‌ضرب دو تابع و مثال 17 حد این تابع را به‌دست آوریم:

$\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + 1)\sin x}}{{x(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x(x + 1)}}{{x(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}\,\frac{{x(x + 1)}}{{(x + 2)}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + 1)}}{{(x + 2)}} = 1 \times \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 1)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 2)}} = \frac{1}{2} \cr} $

ج) تابع $\frac{{{x^2} + x - 4}}{{{x^2} - 16}}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ { - 4,4} \right\}$ در $x = - 4$.

تابع $\frac{{{x^2} + x - 4}}{{{x^2} - 16}}$ با دامنهٔ $R - \left\{ { - 4,4} \right\}$ در $x = - 4$:
حد صورت این کسر در $x = - 4$ عدد 8 و حد مخرج این کسر در این نقطه، عدد صفر است پس این تابع کسری در $x = - 4$ حد ندارد.

1- حد تابع‌های زیر را در نقطهٔ داده شده، در صورت وجود، بیابید.

الف) تابع $g(x) = {x^3} - 2x$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ در نقطهٔ دلخواه $a$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^3} - 2x = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^3} - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} 2x = {a^3} - 2a$

ب) تابع $f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}$ با دامنهٔ $(1,5)$ در نقطهٔ $x = 3$ و در نقطهٔ $x = 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {x^2} + 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {x^2} - 1}} = \frac{{10}}{8} = \frac{5}{4}$

حد تابع $f$ در $x = 1$ وجود ندارد زیرا حد صورت عددی ناصفر و حد مخرج صفر است.

ج) تابع $h(x) = \frac{{x - {x^3}}}{{x + 1}}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ { - 1} \right\}$ در نقطهٔ دلخواه $a$.

اگر $a \ne - 1$، حد تابع مخرج در این نقطه ناصفر است و داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{x - {x^3}}}{{x + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x - {x^3}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x + 1}} = \frac{{a - {a^3}}}{{a + 1}}$

اما در حالت $a = - 1$ حد تابع صورت و تابع مخرج در این نقطه صفر است و در حالت مبهم قرار داریم. در این مسئله با ساده‌سازی تابع کسری، حد آن در این نقطه محاسبه می‌شود.

$\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{x - {x^3}}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{x(1 - {x^2})}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{x(1 - x)(1 + x)}}{{x + 1}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} x(1 - x) = - 2 \cr} $

2- حد تابع $h(x) = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{4 - {x^2}}}$ با دامنهٔ $( - \infty , - 2)$ در 2- را در صورت وجود بیابید.
حد تابع صورت و تابع مخرج این کسر در $x = - 2$ صفر است و با یک حالت مبهم روبرو هستیم. می‌توانیم تابع‌های صورت و مخرج را به‌صورت ضرب یک عامل $2 + x$ بنویسیم و با ساده‌سازی به شکل زیر حد را محاسبه کنیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{4 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{(x + 2)(x - 1)}}{{(2 - x)(2 + x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{x - 1}}{{2 - x}} = \frac{{ - 3}}{4}$

3- حد تابع $h(x) = \frac{{{x^2} - x - 4}}{{4 + {x^2}}}$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را در نقطهٔ دلخواه $a$ بیابید.
با توجه به اینکه حد تابع مخرج در نقطهٔ دلخواه $a$ برابر $4 + {a^2}$ است و $4 + {a^2} \ne 0$، و حد تابع $h$ نیز در نقطهٔ $a$ وجود دارد، داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^2} - x - 4}}{{4 + {x^2}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^2} - x - 4}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 4 + {x^2}}} = \frac{{{a^2} - a - 4}}{{4 + {a^2}}}$

4- تابع $f(x) = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ { - 2,2} \right\}$ در چه نقاطی حد ندارد؟

حد این تابع در همهٔ نقاط قابل تعریف است. در جاهایی که حد مخرج صفر نشود، حتماً حد این تابع وجود دارد (حد تابع صورت در همة نقاط وجود دارد). تابع مخرج فقط در نقاط 2 و 2- صفر می‌شود، پس در سایر نقاط حد تابع مخرج ناصفر است و حد این تابع کسری موجود است.
در نقطهٔ $x = 2$ حد تابع مخرج، صفر است و حد تابع صورت، عددی ناصفر است، پس در این نقطه تابع کسری حد ندارد. اما در نقطهٔ $x = - 2$ حد تابع صورت و تابع مخرج صفر است و در حالت مبهم قرار داریم که با ساده‌سازی تابع کسری دیده می‌شود حد تابع کسری در این نقطه وجود دارد.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{x + 2}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{1}{{x - 2}} = - \frac{1}{4}$

5- تابع $f(x) = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x}}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ {0,1} \right\}$ را در نظر بگیرید. وجود حد این تابع را در نقاط صفر و 1 بررسی کنید.

حد تابع صورت و تابع مخرج این تابع کسری در $x = 0$، صفر است و با یک حالت مبهم روبرو هستیم.
می‌توانیم تابع‌های صورت و مخرج را به‌صورت ضرب یک عامل $x$ بنویسیم و با ساده‌سازی به شکل زیر حد را محاسبه کنیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(x + 1)}}{{x(x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = - 1$

در نقطهٔ $x = 1$ حد تابع صورت عددی ناصفر و حد تابع مخرج، صفر است، بنابراین در این نقطه حد تابع کسری وجود ندارد.

6- تابع $g(x) = \frac{{(x + {x^3})\sin x}}{{{x^2}(1 - x)}}$ با دامنهٔ $\mathbb{R} - \left\{ {0,1} \right\}$ را در نظر بگیرید.

الف) آیا این تابع در صفر حد دارد؟ حد آن را در صورت وجود بیابید.
حد تابع صورت و تابع مخرج این تابع کسری در $x = 0$ صفر است و با یک حالت مبهم روبرو هستیم. می‌توان تابع‌های صورت و مخرج را به‌صورت ضرب یک عامل $x$ نوشت و با ساده‌سازی به شکل زیر حد را محاسبه کرد:

$\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + {x^3})\sin x}}{{{x^2}(1 - x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(1 + {x^2})\sin x}}{{{x^2}(1 - x)}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + {x^2})}}{{(1 - x)}} \times \frac{{\sin x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + {x^2})}}{{(1 - x)}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1 \times 1 = 1 \cr} $

ب) آیا این تابع در 1 حد دارد؟ حد آن را در صورت وجود بیابید.
این تابع در $x = 1$ حد ندارد، زیرا حد تابع صورت در این نقطه، عددی ناصفر است و حد تابع مخرج آن در این نقطه صفر است.

درسنامه آموزشی ریاضی 3 فنی دوازدهم هنرستان

پودمان 2: درک مفهوم حد

حد تابع‌ها

فعالیت (صفحهٔ 39 کتاب درسی)

کار در کلاس (صفحهٔ 45 کتاب درسی)

کار در کلاس (صفحهٔ 48 کتاب درسی)

کار در کلاس (صفحهٔ 51 کتاب درسی)

مسائل (صفحهٔ 52 کتاب درسی)

محاسبهٔ حد تابع‌ها

فعالیت (صفحهٔ 54 کتاب درسی)

کار در کلاس (صفحهٔ 57 کتاب درسی)

فعالیت (صفحهٔ 58 کتاب درسی)

کار در کلاس (صفحهٔ 64 کتاب درسی)

مسائل (صفحهٔ 65 کتاب درسی)